SO FUNKTIONIERT’S
Eigene quadratische Schritte: beide Lösungen prüfen · Klasse 9
In acht Fällen eine monische Gleichung selbst faktorisieren, beide Lösungen nennen und zweimal vollständig einsetzen. In einer neuen Flächensituation die Modellgleichung selbst aufstellen; ihre Längengrenze getrennt betrachten. In dieser Lernkette übst du eine begrenzte Idee Schritt für Schritt.
Warum funktioniert das?
Für die Faktoren brauchst du zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -12: 3 und -4. Aus (x + 3) · (x - 4) = 0 folgt x + 3 = 0 oder x - 4 = 0, also x = -3 oder x = 4. Die Proben ergeben 9 + 3 - 12 = 0 und 16 - 4 - 12 = 0. Beide Werte lösen die Ausgangsgleichung; bei (-3)² gehört das Minus in die Klammer. ‚Oder‘ bedeutet hier: Jeder Wert ist einzeln eine Lösung. Ein begrenzter Fünfzeilenstandard für x² + px + q = 0 mit ganzzahligen p und q und genau zwei verschiedenen ganzzahligen Lösungen von -9 bis 9. Der Koeffizient vor x² ist 1. p = 0 oder q = 0 sind möglich; eine doppelte Lösung, keine reelle Lösung, Bruch-/irrationale Lösungen und andere Leitkoeffizienten fehlen. Faktorisieren, Nullprodukt, beide Lösungen und zwei vollständige Einsetzproben bilden den eigenen Prüfpfad. Andere gültige Wege, Lösungsformel, quadratische Ergänzung, Graphen, allgemeine Polynome, Bruchgleichungen und Gleichungssysteme werden damit nicht abgenommen. BY Gymnasium M9 2.1 ist ein Entwurfsanker für diesen kleinen Gegenstand, keine vollständige Quadratik- oder M9-2.2-Modellierleistung. Das neue Rechteckmodell wird in der Ausgangsgleichung geprüft; die freie Begründung der positiven Längenauswahl bleibt unbewertet. Persönliche Schulart-, Länder-, Fassungs- und Kohortenzuordnung bleiben offen; kein Realschul-9- oder Österreichnachweis. Eigene Papierwege und freie Strategien bleiben unbewertet.
Schritt für Schritt
- Suche zuerst zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -12. Setze danach jeden Faktor für sich gleich null und prüfe beide Werte in der ursprünglichen Gleichung.
- Prüfe am Beispiel: Für die Faktoren brauchst du zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -12: 3 und -4. Aus (x + 3) · (x - 4) = 0 folgt x + 3 = 0 oder x - 4 = 0, also x = -3 oder x = 4. Die Proben ergeben 9 + 3 - 12 = 0 und 16 - 4 - 12 = 0. Beide Werte lösen die Ausgangsgleichung; bei (-3)² gehört das Minus in die Klammer. ‚Oder‘ bedeutet hier: Jeder Wert ist einzeln eine Lösung.
- Warum sind die Faktorenzahlen und die Lösungen oft mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben?
- Schließe die Erklärung und probiere anschließend eine andere Aufgabe selbst. Du kannst bei Bedarf wieder Hilfe öffnen.
Beispiel: Ein erklärtes Beispiel
Beispiel: x² - 1x - 12 = 0. Schreibe die fünf Zeilen mit beiden Lösungen und zwei vollständigen Proben. 1x bedeutet dasselbe wie x.
Passende Antwort: x² - 1x - 12 = 0 (x + 3) · (x - 4) = 0 x = -3 oder x = 4 (-3)² - 1 · (-3) - 12 = 0 4² - 1 · 4 - 12 = 0
Für die Faktoren brauchst du zwei Zahlen mit Summe -1 und Produkt -12: 3 und -4. Aus (x + 3) · (x - 4) = 0 folgt x + 3 = 0 oder x - 4 = 0, also x = -3 oder x = 4. Die Proben ergeben 9 + 3 - 12 = 0 und 16 - 4 - 12 = 0. Beide Werte lösen die Ausgangsgleichung; bei (-3)² gehört das Minus in die Klammer. ‚Oder‘ bedeutet hier: Jeder Wert ist einzeln eine Lösung.