SO FUNKTIONIERT’S
Quadratische Gleichungen: ergänzen und alle reellen Lösungen prüfen · Klasse 9
Quadratische Ergänzung und direktes Wurzelziehen mit Strukturgrund, keiner, einer oder zwei reellen Lösungen und sämtlichen Originalproben. In dieser Lernkette übst du eine begrenzte Idee Schritt für Schritt.
Warum funktioniert das?
Der gerade x-Koeffizient lässt sich ganzzahlig halbieren; das Quadrat seiner Hälfte wird auf beiden Seiten ergänzt. Ein positiver Quadratwert liefert zwei Wurzeln, null eine und ein negativer Wert über R keine Lösung. Der Strukturgrund bestätigt einen passenden Weg; weitere gültige Methoden bleiben möglich. Nur monische Gleichungen x²+p*x+q=0, p gerade von −10 bis 10 und d=(p/2)²−q aus {−9,−4,−1,0,1,4,9,16,25}: genau 99 Verträge. Bei p=0 direkter Sechszeilenweg, sonst Achtzeilenweg mit beidseitiger Ergänzung. Strukturgründe begründen den angekündigten Weg, keine einzig beste Methode. Andere gültige Verfahren und Schreibformen bleiben ungeprüft. Keine allgemeine Lösungsformel, irrationalen Wurzeln, komplexen Lösungen, freie Textnote oder Graphprüfung. BY Gymnasium M9 1/2.1 und begrenztes Sachmodell 2.2 nur Teilbezug; persönliche Fassung/Kohorte offen.
Schritt für Schritt
- Drei Hilfegerüste für die quadratische Ergänzung mit acht Zeilen. Sie zeigen andere Zahlen, soweit der Fall dies erlaubt. Der direkte Einlösungsfall ist immer x²=0. Deine Eingabe wird dadurch nicht verändert. Andere passende Methoden können ebenfalls gültig sein; hier wird nur der angekündigte Weg geprüft. Zwei Lösungen: Methode: quadratisch ergänzen, da p=-2 gerade ist x^2-2*x-3=0 x^2-2*x=3 x^2-2*x+(-1)^2=3+(-1)^2 (x-1)^2=4 x-1=-2 oder x-1=2 L={-1,3} Probe: (-1)^2-2*(-1)-3=1+2-3=0; Probe: 3^2-2*3-3=9-6-3=0 Eine Lösung: Methode: quadratisch ergänzen, da p=-6 gerade ist x^2-6*x+9=0 x^2-6*x=-9 x^2-6*x+(-3)^2=-9+(-3)^2 (x-3)^2=0 x-3=0 L={3} Probe: 3^2-6*3+9=9-18+9=0 Keine reelle Lösung: Methode: quadratisch ergänzen, da p=2 gerade ist x^2+2*x+2=0 x^2+2*x=-2 x^2+2*x+1^2=-2+1^2 (x+1)^2=-1 Ein Quadrat ist nie negativ: (x+1)^2≥0>-1 L={} Beleg: x^2+2*x+2=(x+1)^2+1>0 für alle x∈R
- Prüfe am Beispiel: Der gerade x-Koeffizient lässt sich ganzzahlig halbieren; das Quadrat seiner Hälfte wird auf beiden Seiten ergänzt. Ein positiver Quadratwert liefert zwei Wurzeln, null eine und ein negativer Wert über R keine Lösung. Der Strukturgrund bestätigt einen passenden Weg; weitere gültige Methoden bleiben möglich.
- Wann genügt direktes Wurzelziehen?
- Schließe die Erklärung und probiere anschließend eine andere Aufgabe selbst. Du kannst bei Bedarf wieder Hilfe öffnen.
Beispiel: Ein erklärtes Beispiel
Löse x^2-4*x-5=0 über R mit quadratischer Ergänzung. Begründe den angekündigten Weg anhand des x-Koeffizienten und prüfe sämtliche reellen Lösungen.
Passende Antwort: Methode: quadratisch ergänzen, da p=-4 gerade ist x^2-4*x-5=0 x^2-4*x=5 x^2-4*x+(-2)^2=5+(-2)^2 (x-2)^2=9 x-2=-3 oder x-2=3 L={-1,5} Probe: (-1)^2-4*(-1)-5=1+4-5=0; Probe: 5^2-4*5-5=25-20-5=0
Der gerade x-Koeffizient lässt sich ganzzahlig halbieren; das Quadrat seiner Hälfte wird auf beiden Seiten ergänzt. Ein positiver Quadratwert liefert zwei Wurzeln, null eine und ein negativer Wert über R keine Lösung. Der Strukturgrund bestätigt einen passenden Weg; weitere gültige Methoden bleiben möglich.